概率分布函数

概率分布函数：表示随机变量若在$x$点左边$(X \le x)$的概率：$F(X) = p(X \le x)$
定义域$(-\infty,+\infty)$,值域为$[0,1]$,如下图:

性质：

$$F(-\infty) = 0,F(+\infty) = 1$$

利用分布函数求概率

$P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$
$P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a-0)$
$P(a \leq X < b) = F(b-0) - F(a-0)$
$P(a < X < b) = F(b-0) - F(a)$
$P(x = a) = F(a) - F(a-0)$

根据概率密度函数求分布函数

$$F(X) = \int_{-\infty}^{x} \ f(x)$$ $$f(x) = F^{,}(X)$$

高斯分布

概率密度函数:$f(x,\mu,\sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})$
概率分布函数:$F(X,\mu,\sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int exp(-\frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}) dt$

多变量高斯分布

N为随机变量$X=[X_{1},…,X_{N}]^{T}$服从多维正态分布
任何线性组合$Y=a_{1}X_{1}+…+a_{n}X_{n}$服从正态分布
存在随机向量$Z=[Z_{1},…,Z_{N}]^{T}$,其中每个元素都服从独立的标准正态分布,向量$\mu=[\mu_{1},\mu_{2},…,\mu_{N}]^{T}$及矩阵$A_{N*M}$,满足$X = AZ +\mu$,存在一个特征矩阵$\mu$和其对称正定矩阵$\sum$满足X的特征函数：

$$\varphi(X,\mu,\sum) = exp(\mu^{T}X\mu-\frac{1}{2}\mu^{T}\sum\mu)$$

若$\sum$为奇异矩阵，则概率密度函数为:

$$f_{x}(x_{1},...,x_{k})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2}|\sum|}} exp(-\frac{1}{2}(X-\mu)^T\sum^{-1}(x-\mu))$$

例如二维非奇异矩阵$[X,Y]$,$\rho$为X和Y的相关系数，则$\mu=\begin{pmatrix} \mu_{x} \\ \mu_{y} \end{pmatrix}$,$\sum = \begin{pmatrix} \sigma^{2}_{x} & \rho\sigma_{x}\sigma_{Y}\\ \rho\sigma_{x}\sigma_{Y} & \sigma^{2}_{Y} \end{pmatrix}$